这样的编排，导致了数量关系教学的弱化，导致学生对数量关系的认识单一，给问题的解决带来了困难。因而，我们努力从割裂的知识点中提取其共通层面的“数量关系”，以此为结构体系关联合并形成类问题，进而组合教学沟通关系。

整个数量关系教学之间存在着关系之间的沟通与数学结构的关联。简单数量关系是复合数量关系、特殊数量关系的基础，复合数量关系是在简单数量关系基础上的复杂化，特殊数量关系则是在简单数量关系基础上的特殊化。根据数量关系的知识结构分析，考虑学生对数量关系理解的认识能力和年龄特点，我们认为小学阶段的数量关系运用的教学可分为三个阶段：第一阶段掌握基本的四种数量关系问题的结构；第二阶段了解复合数量关系问题的形成过程，把握复合数量关系问题的结构，实现简单数量关系问题与两步复合数量关系问题之间的相互转换；第三阶段掌握特殊数量关系问题的结构，并能够通过等量关系的方程运用解决这些特殊数量关系的问题。同时我们主张，相关的教学内容在前期教学渗透的基础上，需要进行集中教学，以实现数量关系教学的育人价值。

第一阶段主要是针对一、二年级，要求学生能够掌握最简单的也是最为基本的四种数量关系的结构（部总关系、份总关系、相差关系、倍数关系）。这四种关系可以分为两大类，一类是部分量与总量的从属关系。另一类是两个量的比较关系。在部分量与总量的从属关系中，根据部分量之间是否相同又可以分为两种情况：部分量不同的部总关系（部分量＋部分量=总量）；部分量相同的份总关系（每份数×份数=总数），份总关系是部总关系的特殊关系，具有类比关系。同样，在两个量的比较关系中，又可以分为两种情况：较大量中不包含几个相同的较小量的相差关系（较大量－较小量=相差量）；较大量中包含了几个相同的较小量的倍数关系（较大量÷较小量=倍数），倍数关系是相差关系的特殊情况。我们要在理解数的运算意义的基础上理解数量关系。加、减、乘、除意义的引入过程正是加、减、乘、除这四种基本数量关系的建立过程。教师应把握数量关系教学的第一教学时间，让四则运算意义的建立过程成为其对应数量关系的建立过程。当然，对四则运算意义及其对应数量关系的教学不能仅停留在独立单元教学上，还应把运算意义及其数量关系的理解与感悟放在各个单元、各个知识点的教学之中。

第二阶段主要是针对三、四年级，要求学生能够把握四种复合数量关系的结构（由四种最基本的简单数量关系经过交错组合而形成），并能实现一步简单数量关系与两步复合数量关系之间的相互转换。复合数量关系是指四种最基本的简单数量关系经过交错组合而形成比较复杂的数量关系，这是一个从简单到复杂的变化发展过程。四种简单数量关系经过交错组合可以形成各种复合关系，这些数量关系基本上囊括了小学阶段所有两步计算的数量关系问题。在这些数量关系中，无论第一步是什么数量关系，都可以根据第二步的数量关系将它们概括为四种复合关系，也就是部总复合关系、份总复合关系、相差复合关系、倍数复合关系。

第三阶段主要是针对五年级，要求学生能够掌握特殊数量关系的结构（把一般的份总关系运用到特殊情境之中，如：购物、工程、行程等问题情境，产生以下一些关系：单价×数量=总价，工效×工时=工总，速度×时间=路程），并能通过等量关系的方程运用解决这些特殊数量关系。根据各种问题情境的不同状况，特殊数量关系可以分为两个认识层面：特殊数量关系的简单运用（一般安排在四年级）；特殊数量关系的复杂运用（一般安排在五年级）。特殊数量关系的简单运用可迁移简单数量关系的集中教学参照。

二、日常渗透、整体感悟。

（一）简单数量关系教学。

整体感悟三个量之间的关系，经历从大量背景材料中抽象出数量关系的过程。它是一个既有分散教学的日常渗透，又有集中教学的整体感悟，还有综合练习的长程设计。

1.日常渗透的原则。也就是在加、减、乘、除运算概念的教学中注意日常渗透简单数量关系。

不管是哪种数量关系的教学，都是建立在对四则运算意义理解的基础之上，渗透到日常的数运算教学之中。教材一般是先学习一个新的计算内容，接着安排某一类数量关系的教学。在日常教学中，教师结合四则运算的意义渗透每一种基本的数量关系，让学生理解具体情境中的数量关系，有意识地引导学生对源于经验认知的方法进行比较、分析，体会四则运算意义的本质，构建数学模型，逐步提高分析简单数量关系的能力。在教学时不能把注意力放在一个个具体问题的解答上，应将学生根据生活经验解决问题的方法适当提升，从运算意义的角度分析普遍的数量关系，从而不断丰富学生的认识，打开学生的思维，帮助学生理解，总结和提炼。如，在“认识加法”时我们就结合图帮助学生理解：把两个部分数合起来（用手势表示）就可以用这样的符号“+”表示，算出“一共是多少？”，也就是算出总数，用一个式子表示就是部分数+部分数=总数。在“认识减法”时 我们也是结合图帮助学生理解：从一个总数里去掉一个部分（用手势或符号表示），就可以用这样的符号“－”表示，算出“还剩多少？”，也就是算出另一个部分数，用一个式子表示就是总数－部分数=部分数。

2.整体感悟的原则。也就是在简单数量关系集中教学中注意引导学生经历归纳和演绎的过程，整体感悟三个数量之间的内在关系。

通过集中教学，教师要引导学生整体感悟每一种数量关系中三个量之间的内在关系，知道三个数量中的任意两个数量就可以求出另一个数量，掌握思想方法。

一方面注重数量关系的提炼过程。教学应是引导学生有效建构数学知识的活动过程，学生应当是主动探索知识的建构者。教师要结合具体教学情境，让学生参与数学知识的产生和应用过程，从而真正理解数学，形成知识技能。另一方面从学生的生活情境中抽象出数量关系。在这个过程中，教师既要引导学生认识到数量关系能反映不同情境的特征，又要帮助学生经历将数量关系与具体情境相分离的抽象过程，使学生能在抽象的数量关系与具体的情境之间建立有意义的联系。　

如：在一年级上我们就进行了简单部总关系的集中教学；二年级上我们进行了简单份总关系的集中教学；二年级下我们进行了复合数量关系的集中教学；四年级上我们进行了复合倍数关系的集中教学；四年级下我们进行了特殊数量关系的集中教学等等。

3.沟通比较、综合运用的原则。也就是在抽象认识基础上进行综合运用。

基于学生对三个数量之间的关系整体感悟的基础上，基于学生对数量关系抽象再认识的基础上，基于学生对各种数量关系抽象认识的综合运用上，教师可以进行数量关系的综合练习。如一年级主要是简单部总关系和相差关系的综合练习，二年级主要是四种简单数量关系的综合运用。三～6年级主要是复合数量关系的综合练习。练习的形式是多样的，可以是根据所给的条件和提出的问题，进行补条件的综合练习，可以是根据所给的条件提出问题的综合练习，可以是根据所给的具体情境进行判断的综合练习等等。

在具体的综合练习的过程中，我们不能仅以数量关系的分析来代替学生个性不一的解题策略的运用，而应将分析数量关系的基本方法和解决问题的策略有机结合，在它们的共同作用下找到解决问题的途径和方法。为了能够帮助学生理解信息中隐含的数量关系，可以运用数学化的手段(如画图、列表、转化等)，分析、梳理信息之间的数量关系，用数学语言构建基本模型，进而解决问题。教学时，要注意把握教材的编排结构，对相关内容的生长点，教学重点、难点和关键各是什么，做到心中有数，还要充分利用学生已有的经验，引导学生回顾，逐步提炼思路。显然复合数量关系是简单数量关系的综合。因此，对一步简单数量关系的理解直接影响着两步复合数量关系的解决。在教学复合数量关系的过程中，还要让学生初步体会整理信息，发现条件之间的联系，研究条件与问题间的关系，从中再生出新的、有用的信息。

              简单数量关系教学过程结构图

（二）复合数量关系教学。

了解复合数量关系形成过程的来龙去脉的整体感悟，掌握从一步简单数量关系到两步复合数量关系之间的转换路径和思维策略，实现一步简单数量关系与两步复合数量关系之间的相互转换，形成对各种复合数量关系的结构化认识。

1.主动变换的原则。

在复合数量关系问题形成的过程中，老师要提供主动尝试变换的机会、时间和空间，使学生在实践探索中有充分的体验和感悟，以帮助学生形成复杂问题变换的路径和思维策略。可以采用整体规划、系统设计。各种复合数量关系可以归为四种关系：部总复合关系、份总复合关系、相差复合关系和倍数复合关系。在教学过程中我们可以采用长程两段的教学策略进行整体规划，也就是把部总复合数量关系为“教结构”，其他三种关系为“用结构”。具体地说，在三年级第一学期部总复合关系“教结构”时，让学生整体感悟，能对一个条件按四种方向进行变换，能按性别、大小、颜色、种类把总量分成各个部分量。在以后“用结构”阶段，要提供主动迁移的时间和机会，引导学生学会自觉主动地运用转换路径和思维策略，实现一步简单数量关系与两步复合数量关系的相互转换，实现个性化和创生化的占有。

2.提炼变换路径的原则。

其一，要确定已知的量和求解的问题。由于简单数量关系中的三个量之间具有密切的内在关联性，也就是已知三个量中的两个量，可以求出第三个量。因此，一个简单数量关系可派生出三种变式。所以，在从简单变换为复杂过程中的第一步，就有三种变式路径可供选择。其二，要确定变换的对象。由于简单数量关系的构成要素是已知两个条件和一个问题，只要把其中的已知条件变换为间接条件，就能变简单问题为比较复杂的数量关系问题。因此，在从简单变换为复杂过程中的第二步，既可以选择对第一已知条件进行变换，也可以选择对第二已知条件进行变换，还可以同时对两个已知条件进行变换。所以，就一次变换而言的思维策略至少就有三种选择。其三，要确定变换的方向。要把已知条件变换为间接条件，实际上就是把已知条件变换为未知的第三个量，是通过已知其他的两个量获得的结果。因此，在从简单变换为复杂过程的第三步，可供选择的变换方向有四种：可以选择部总关系变换，可以选择相差关系变换，可以选择份总关系变换，还可以选择倍数关系变换。当然在变换的过程中，一是要引导经历“变”简单为复杂的过程。整体感悟从一步简单数量关系到两步复合数量关系的形成过程，整体感悟两步复合数量关系与一步简单数量关系之间的区别和联系，整体感悟从一步简单数量关系变为两步复合数量关系的各种转换路径和思维策略。二是要引导经历“变”复杂为简单的过程。整体感悟将两步复合数量关系转化为一步简单数量关系的过程，把握复合数量关系解决问题的知识结构和方法结构，形成主动学习的意识和能力。

3.灵活变换的原则。

其一，引导学生比较沟通，增强变换性练习。例如，通过部总复合关系与份总复合关系的比较沟通，让学生体悟份总复合关系是部总复合关系的特殊情况，份总复合关系形成的变换路径思维策略与部总复合关系是一样的。份总复合关系的各种问题形成的变换过程，就可以看作是对前期认识的变换路径和思维策略的练习。通过四种复合关系的比较沟通和变换练习，学生的认知逐渐丰富和结构化，策略选择意识逐渐增强，思维能力逐渐提升。其二，关注学生当下状态，提出递进性要求。在教学过程中要时刻关注学生之间学习的差异，根据不同学生提出不同的要求，促进每个学生达到基本要求的基础上向更高的目标迈进。对学习能力比较弱的学生，只要他们达到基本要求就行，也就是了解复合数量关系的形成过程和变换路径，能够变出1-2个比较简单的问题，能把复杂问题转化为简单问题并解决。对学习能力中等的学生，要求他们理解复合数量关系的形成过程和各种变换路径，能部分掌握变换路径和思维策略进行变换。对学习能力很好的学生，对复合数量关系有整体认识和结构把握，能有意识地按照变换路径和思维策略进行变换，能熟练求解。

（三）特殊数量关系教学。

经历从整体结构关系到局部问题解决的认识过程，经历主动变换条件和发现内在规律求解的探究过程，经历问题求解的算术方法与方程方法比较的体悟过程。

1.整体感知各种类型的原则。

整体规划教学长段，设计递进性教学目标。在教学过程中我们可以采用长程两段的教学策略，以相向而行的问题作为“教结构”：可采用整体感悟的策略，分两个课时进行研究，第一课时重在引导学生经历相向而行的相遇、相离、相遇又相离三种情况的认识过程，学会根据各种情况展开研究，学会主动变化条件，发现内在不变的规律，学会根据等量关系灵活运用算术方法或方程方法求解问题。第二课时，重在引导学生在整体认识的基础上把握局部，熟练解决相向而行三种情况的基本问题及变式问题。以背向而行和同向而行的问题作为“用结构”，学生可以用“教结构”的研究方法和思维方式对相背而行和同向而行的问题主动展开研究。

2.根据数量内在关系进行变换的原则。

具体设计结构教学，灵活选择求解方法。我们可以按照“整体——局部——整体”的系统教学原则进行具体结构化设计。整体引导学生初步感知形成问题的研究思路和思维策略，整体感知各种情况的结构关系和内在规律，对各种局部的具体问题作出综合判断，灵活选择求解方法。

3.灵活选择算术或方程求解的原则。

根据行程问题基本的等量关系可以有两种求解的基本方法：一种是运用算术方法求解，另一种是运用方程方法求解。在教学中，要结合具体问题，灵活选择合适的方法求解，不断改进完善结构教学，整体综合把握相向、同向和背向各种情况的结构关系与内在规律，形成结构化的认识，实现个性的理解，帮助学生感受和领悟其中的数学思维方式。

特殊数量关系教学过程结构图